La prossima volta che i vostri figli cavillano su chi arriva a mangiare proprio quella parte della torta, è utile chiamare degli esperti sull'arte della divisione.

Il matematico Julius Barbanel dell'Union College, e il politologo Steven Brams della New York University, entrambe degli Stati Uniti, hanno pubblicato un algoritmo su The Mathematical Intelligencer di Springer, con cui mostrano come tagliare in modo ottimale la torta tra due persone in modo efficiente, in parti uguali e in modo tale che nessuno si senta derubato.

Il metodo taglia-e-scegli per dividere beni divisibili è stato considerato equo, e senza invidia fin dai tempi biblici, quando Abramo ha diviso equamente la terra e Lot ha potuto scegliere la parte che voleva. Ma non suscitare invidia non è l'unica considerazione quando si divide qualcosa.

Cosa succede quando possono essere fatti più di due tagli, o quando la gente preferisce sezioni specifiche diverse di ciò che si sta per dividere? Barbanel e Brams credono che con una procedura di restituzione è possibile fare una divisione perfetta tra due persone, che sia efficiente, equa e priva di gelosia.

Un arbitro oggettivo (come una mamma o un computer) è essenziale per il piano. I potenziali mangiatori della torta prima dicono all'arbitro quale parte della delicatezza apprezzano di più. In termini matematici queste sono chiamate «funzioni di densità di probabilità» di qualcuno (PDF).

L'arbitro poi segna la torta in tutti i punti dove si incrociano i pdf degli aspiranti mangiatori della torta scontenti, e assegna le porzioni. Se a questo punto le due parti ricevono la stessa dimensione della torta, il compito è finito. In caso contrario, il processo riparte.

La parte che ha ricevuto la maggior parte della torta durante il primo turno deve dare una parte di essa di nuovo all'altra persona, a partire da quelle parti in cui il rapporto tra i loro PDF è più piccolo. Questo continua fino a quando le parti valutano equivalenti le loro porzioni, e hanno lo stesso volume di torta da mangiare. Questo metodo funziona solo con un numero finito di tagli se le PDF dei giocatori sono segnate diritte, o sono le cosiddette sezioni lineari a pezzi.

I ricercatori ritengono che il metodo possa essere usato per condividere una torta e altri beni divisibili come la terra. Nel caso di una spiaggia di proprietà condivisa tra due operatori immobiliari, ad esempio, può aiutare a determinare chi-ottiene-quale striscia di terra per costruire sulla base dei pezzi di terra che apprezza di più.

"Questa allocazione è non solo equa, ma anche priva di invidia ed efficiente: cioè, perfetta", dice Barbanel.

"Questo approccio si concentra sulla prova dell'esistenza di divisioni efficienti e senza invidia, non sulla fornitura di algoritmi per trovarli", sottolinea Brams.

Fonte: Springer (>English text) - Traduzione di Franco Pellizzari

Riferimenti: J.B. & Brams, S.J. .Two-Person Cake Cutting: The Optimal Number of Cuts. The Mathematical Intelligencer, July 2014 DOI: 10.1007/s00283-013-9442

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